Bangun ruang yang dimaksud pada pos ini meliputi bangun ruang sisi datar dan bangun ruang sisi lengkung yang dipelajari oleh siswa tingkat SMP/Sederajat. Materi ini merupakan pengembangan lebih lanjut dari materi bangun ruang yang sebelumnya telah dipelajari saat tingkat sekolah dasar. Seperti biasa, siswa biasanya diminta untuk menentukan luas permukaan dan volume dari suatu bangun ruang, yang biasanya telah dimodifikasi sedemikian rupa. Untuk memantapkan pemahaman mengenai materi tersebut, berikut disajikan soal dan pembahasannya. Soal juga dapat diunduh dalam berkas PDF melalui tautan berikut Download PDF. Quote by Mario Teguh Orang-orang yang berhenti belajar akan menjadi pemilik masa lalu dan orang-orang yang masih terus belajar akan menjadi pemilik masa depan. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Perhatikan gambar kubus $ berikut. Banyak diagonal ruangnya adalah $\cdots \cdot$ A. $2$ C. $6$ B. $4$ D. $12$ Pembahasan Ada empat diagonal ruang pada kubus, yaitu ruas garis $AG$, $HB$, $CE$, dan $DF$ seperti yang diilustrasikan pada gambar di bawah ini. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 2 Perhatikan gambar kubus berikut. Bidang diagonal yang tegak lurus dengan $ABGH$ adalah $\cdots \cdot$ A. $EFGH$ C. $CDEF$ B. $DCGH$ D. $EBCH$ Pembahasan Bidang diagonal yang tegak lurus dengan $ABGH$ adalah bidang $CDEF$ berpotongan membentuk huruf X. Lebih jelasnya, perhatikan ilustrasi gambar berikut. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 3 Banyak rusuk dan sisi pada prisma segi-$15$ adalah $\cdots \cdot$ A. $45$ dan $17$ C. $30$ dan $16$ B. $45$ dan $15$ D. $30$ dan $17$ Pembahasan Pada prisma segi-$n$, banyak rusuknya adalah $3n$, sedangkan banyak sisinya adalah $n+2$. Untuk itu, banyak rusuk pada prisma segi-15 adalah $315 = 45$ dan banyak sisinya adalah $15+2=17$. Jawaban A [collapse] Soal Nomor 4 Gambar di bawah adalah balok yang dibentuk oleh kubus-kubus kecil. Jika seluruh sisi luar balok dicat, banyak kubus kecil yang terkena cat hanya pada satu sisinya adalah $\cdots \cdot$ A. $14$ C. $24$ B. $17$ D. $34$ Pembahasan Kubus kecil yang terkena cat hanya pada satu sisinya adalah kubus yang tidak terletak di pinggir pada setiap sisi kubus seperti yang telah terarsir pada ilustrasi gambar berikut. Pada sisi depan-belakang, ada $2 \times 10 = 20$ kubus kecil. Pada sisi kiri-kanan, ada $2 \times 2 = 4$ kubus kecil. Pada sisi atas-bawah, ada $2 \times 5 = 10$ kubus kecil. Jadi, secara keseluruhan ada $20+4+10=34$ kubus kecil yang terkena cat hanya pada satu sisi. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 5 Rotama akan membuat empat kerangka bangun ruang dari kawat seperti gambar berikut. Jika kawat yang tersedia $10~\text{meter}$, sisa panjang kawat adalah $\cdots \cdot$ A. $415~\text{cm}$ C. $479~\text{cm}$ B. $475~\text{cm}$ D. $484~\text{cm}$ Pembahasan Kubus Karena kubus memiliki $12$ rusuk yang sama panjang, maka kelilingnya adalah $k_1 = 12 \times s = 12 \times 12 = 144~\text{cm}.$ Balok Karena balok memiliki $4$ rusuk panjang, $4$ rusuk lebar, dan $4$ rusuk tinggi, maka kelilingnya adalah $\begin{aligned} k_2 & = 4 \times p + l + t \\ & = 4 \times 10 + 13 + 9 \\ & = 4 \times 32 = 128~\text{cm}. \end{aligned}$ Prisma segi empat beraturan Bangun ruang ini memiliki sisi alas dan atas berupa segitiga sama sisi ada $6$ rusuk yang sama panjang dan $3$ rusuk tinggi yang sama panjang sehingga kelilingnya $\begin{aligned} k_3 & = 6 \times 12 + 3 \times 15 \\ & = 72 + 45 = 117~\text{cm}. \end{aligned}$ Limas segi empat beraturan Bangun ruang ini memiliki $4$ rusuk alas yang sama panjang dan $4$ rusuk tegak yang juga sama panjang sehingga kelilingnya $\begin{aligned} k_4 & = 4 \times 13 + 4 \times 21 \\ & = 52 + 84 = 136~\text{cm} \end{aligned}$ Dengan demikian, panjang kawat yang dibutuhkan untuk membuat keempat bangun ruang tersebut adalah $\begin{aligned} k & = k_1 + k_2 + k_3 + k_4 \\ & = 144 + 128 + 117 + 136 \\ & = 525~\text{cm}. \end{aligned}$ Karena persediaan kawat sepanjang $10~\text{m} = maka sisa kawatnya adalah $\boxed{ 525 = 475~\text{cm}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 6 Owen memiliki kawat $9~\text{m}$ untuk membuat limas dari kawat. Alas limas berbentuk persegi dengan panjang sisi $15~\text{cm}$ dan panjang rusuk tegaknya $19~\text{cm}$. Jika seluruh kawat digunakan, maka panjang kawat tersisa $\cdots \cdot$ A. $24~\text{cm}$ C. $66~\text{cm}$ B. $42~\text{cm}$ D. $84~\text{cm}$ Pembahasan Perhatikan sketsa limas segi empat beraturan yang dibuat oleh Owen. Keliling rusuk limas tersebut adalah $\begin{aligned} 4 \times 15 + 4 \times 19 & = 4 \times 15+19\\ & = 136~\text{cm}. \end{aligned}$ Kawat yang tersedia sepanjang $9~\text{meter} = 900~\text{cm}$. Untuk itu, $900 \div 136 = 6~\text{sisa}~84.$ Jadi, sisa kawat yang tersedia adalah $\boxed{84~\text{cm}}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 7 Lucky membuat kerangka berbentuk balok yang terbuat dari aluminium dengan ukuran $50~\text{cm} \times 50~\text{cm} \times 80~\text{cm}$. Jika harga $1~\text{meter}$ aluminium biaya yang diperlukan untuk membeli aluminium adalah $\cdots \cdot$ A. C. B. D. Pembahasan Perhatikan sketsa gambar balok berikut. Keliling balok berukuran $p = 50~\text{cm}, l = 50~\text{cm}$, dan $t = 80~\text{cm}$ adalah $\begin{aligned} k & = 4p + l + t \\ & = 450+50+80 \\ & = 4180 = 720~\text{cm} = 7,2~\text{m}. \end{aligned}$ Karena harga $1~\text{m}$ aluminium adalah maka harga $7,2~\text{m}$ adalah $7,2 \times \text{Rp} = \text{Rp} Jadi, biaya yang diperlukan untuk membeli aluminium adalah Jawaban D [collapse] Soal Nomor 8 Jaring-jaring limas terdiri dari persegi dengan panjang sisi $24~\text{cm}$ dan empat segitiga sama kaki yang kongruen dengan panjang alas $24~\text{cm}$ dan tinggi $20~\text{cm}$. Tinggi limas tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $16~\text{cm}$ C. $8~\text{cm}$ B. $12~\text{cm}$ D. $6~\text{cm}$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar limas segi empat beraturan $ dan segitiga siku-siku $TOP$ berikut. Misalkan $O$ terletak pada alas $ABCD$ sehingga $TO$ merupakan tinggi limas. Misalkan juga $P$ merupakan titik tengah rusuk $BC$. Dengan demikian, diperoleh segitiga siku-siku $TOP$ yang memiliki panjang alas $OP = \dfrac12 \times 24 = 12~\text{cm}$ dan panjang sisi miring hipotenusa $TP = 20~\text{cm}$. Tinggi limas tinggi segitiga dapat dihitung dengan Teorema Pythagoras, yaitu $\begin{aligned} t & = \sqrt{TP^2-OP^2} \\ & = \sqrt{20^2-12^2} \\ & = \sqrt{400-144} \\ & = \sqrt{256} = 16~\text{cm}. \end{aligned}$ Jadi, tinggi limas tersebut adalah $\boxed{16~\text{cm}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 9 Perhatikan gambar di bawah. Luas seluruh permukaan bangun tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $902~\text{cm}^2$ C. $625~\text{cm}^2$ B. $807~\text{cm}^2$ D. $605~\text{cm}^2$ Pembahasan Luas permukaan gabungan bangun ruang tabung dan setengah bola pada gambar yang diberikan dapat dihitung dengan menjumlahkan luas alas tabung, luas selimut tabung, dan luas belahan bola. Luas alas tabung luas lingkaran dengan diameter $14~\text{cm}$ atau berjari-jari $7~\text{cm}$ adalah $L_1 = \pi r^2 = \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7 = 154~\text{cm}^2.$ Luas selimut tabung dengan jari-jari $7~\text{cm}$ dan tinggi $10~\text{cm}$ adalah $\begin{aligned} L_2 & = 2\pi rt \\ & = 2 \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 10 \\ & = 440~\text{cm}^2. \end{aligned}$ Luas belahan bola berjari-jari $7~\text{cm}$ sama dengan jari-jari tabung adalah $L_3 = 2\pi r^2 = 2154 = 308~\text{cm}^2.$ Jadi, luas permukaan totalnya adalah $\begin{aligned}L & = L_1+L_2+L_3 \\ & = 154 + 440 + 308 = 902~\text{cm}^2. \end{aligned}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 10 Perhatikan gambar prisma berikut. Luas seluruh permukaannya adalah $\cdots \cdot$ A. $800~\text{cm}^2$ C. $680~\text{cm}^2$ B. $700~\text{cm}^2$ D. $480~\text{cm}^2$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Luas permukaan bangun ruang tersebut sama dengan jumlah luas dari seluruh bidang sisinya. Luas bidang $ABFE$ yang merupakan bangun trapesium dapat ditentukan jika tingginya diketahui. Perhatikan gambar sebelah kanan. Tinggi trapesium $FP$ dapat dihitung dengan Teorema Pythagoras, yaitu $\begin{aligned} FP & = \sqrt{FB^2-PB^2} \\ & = \sqrt{5^2-3^2} \\ & = \sqrt{25-9} \\ & = \sqrt{16} = 4~\text{cm}. \end{aligned}$ Dengan demikian, luas trapesium $ABFE$ adalah $\begin{aligned} L_{ABFE} & = \dfrac{AB + EF}{2} \times FP \\ & = \dfrac{13+7}{2} \times 4 \\ & = 20 \times 2 = 40~\text{cm}^2. \end{aligned}$ Luas bidang $CDHG$ sama dengan luas bidang $ABFE$, yaitu $40~\text{cm}^2$. Luas bidang $BCGF$ yang juga sama dengan luas bidang $ADHE$ persegi panjang, yaitu $\begin{aligned} L_{BCGF} = L_{ADHE} & = p \times l \\ & = 20 \times 5 \\ & = 100~\text{cm}^2. \end{aligned}$ Luas bidang $ABCD$ persegi panjang adalah $\begin{aligned} L_{ABCD} & = p \times l \\ & = 13 \times 20 = 260~\text{cm}^2. \end{aligned}$ Luas bidang $EFGH$ persegi panjang adalah $L_{EFGH} = p \times l = 7 \times 20 = 140~\text{cm}^2.$ Jadi, luas permukaan bangun ruang itu adalah $$\begin{aligned} L_{ & = L_{ABFE} + L_{CDHG} + L_{BCGF} \\ & + L_{ADHE} + L_{ABCD} + L_{EFGH} \\ & = 40+40+100+100+260+140 \\ & = 680~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Jawaban C [collapse] Soal Nomor 11 Diketahui limas tegak dengan alas berbentuk persegi. Jika keliling alas $48~\text{cm}$ dan tinggi limas $8~\text{cm}$, luas permukaannya adalah $\cdots \cdot$ A. $360~\text{cm}^2$ C. $483~\text{cm}^2$ B. $384~\text{cm}^2$ D. $843~\text{cm}^2$ Pembahasan Karena keliling alas persegi $48~\text{cm}$, maka panjang sisi perseginya adalah $48 \div 4 = 12~\text{cm}$. Sekarang, perhatikan sketsa limas segi empat beraturan $ dan segitiga siku-siku $TOP$ berikut. Titik $O$ merupakan titik tengah bidang alas $ABCD$, sedangkan $P$ titik tengah rusuk $BC$. Panjang $TP$ dapat dihitung dengan menggunakan Teorema Pythagoras, yaitu $\begin{aligned} TP & = \sqrt{TO^2+OP^2} \\ & = \sqrt{8^2+6^2} \\ & = \sqrt{64+36} \\ & = \sqrt{100} = 10~\text{cm}. \end{aligned}$ Perhatikan bahwa $TP$ merupakan tinggi sisi tegak limas yang berupa segitiga sama kaki. Sisi tegak limas memiliki luas yang sama, sebab panjang alas dan tingginya sama. Dengan demikian, luas permukaan limas tersebut adalah $$\begin{aligned} L_{ & = L_{ABCD} + 4 \times L_{BCT} \\ & = 12 \times 12 + 4 \times \dfrac12 \times 12 \times 10 \\ & = 144 + 240 = 384~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Jawaban B [collapse] Soal Nomor 12 Luas permukaan kerucut dengan diameter $10~\text{cm}$ dan tinggi $12~\text{cm}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $85\pi~\text{cm}^2$ C. $220\pi~\text{cm}^2$ B. $90\pi~\text{cm}^2$ D. $230\pi~\text{cm}^2$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} d & = 10~\text{cm} \\ r & = \dfrac{1}{2}d = 5~\text{cm} \\ t & = 12~\text{cm} \end{aligned}$ Perhatikan sketsa gambar berikut untuk lebih jelasnya. Luas permukaan kerucut dirumuskan oleh $\boxed{L = \pi rr + s}$ $s$ merupakan panjang garis pelukis. Nilainya dapat dicari dengan menggunakan rumus Pythagoras berdasarkan gambar ilustrasi di bawah. $\begin{aligned} s & = \sqrt{t^2+r^2} \\ & = \sqrt{12^2+5^2} \\ & = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13~\text{cm}. \end{aligned}$ Dengan demikian, $L = \pi55+13 = 90\pi~\text{cm}^2.$ Jadi, luas permukaan kerucut tersebut adalah $\boxed{90\pi~\text{cm}^2}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 13 $ pada gambar di bawah adalah prisma dengan $ABFE$ sejajar $DCGH$. Panjang $AB = 4~\text{cm}, BC = 6~\text{cm},$ $AE = 8~\text{cm},$ dan $BF = 5~\text{cm}.$ Luas permukaan prisma adalah $\cdots \cdot$ A. $156~\text{cm}^2$ C. $184~\text{cm}^2$ B. $158~\text{cm}^2$ D. $236~\text{cm}^2$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Segitiga $EOF$ merupakan segitiga siku-siku sehingga panjang $EF$ dapat dihitung dengan Teorema Pythagoras. $\begin{aligned} EF & = \sqrt{EO^2+OF^2} \\ & = \sqrt{3^2+4^2} \\ & = \sqrt{9+16} \\ & = \sqrt{25} = 5~\text{cm}. \end{aligned}$ Luas permukaan prisma sama dengan jumlah luas seluruh bidang sisinya. Luas bidang alas $ABCD$ persegi panjang adalah $L_{ABCD} = p \times l = 4 \times 6 = 24~\text{cm}^2.$ Luas bidang atas $EFGH$ persegi panjang adalah $\begin{aligned} L_{EFGH} & = FG \times EF \\ & = 6 \times 5 = 30~\text{cm}^2. \end{aligned}$ Luas bidang $ABFE$ dan $DCGH$ trapesium siku-siku sama, yaitu $$\begin{aligned} L_{ABFE} = L_{DCGH} & = \dfrac{AE + BF}{2} \times OF \\ & = \dfrac{8+5}{\cancel{2}} \times \cancelto{2}{4} \\ & = 13 \times 2 = 26~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Luas bidang $BCGF$ persegi panjang adalah $L_{BCGF} = p \times l = 6 \times 5 = 30~\text{cm}^2.$ Luas bidang $ADHE$ persegi panjang adalah $L_{ADHE} = p \times l = 6 \times 8 = 48~\text{cm}^2.$ Jadi, luas permukaan prisma itu adalah $$\begin{aligned} L_{ & = L_{ABCD} + L_{EFGH} + L_{ABFE} \\ & + L_{CDHG} + L_{BCGF} + L_{ADHE} \\ & = 24+30+26+26+30+48 \\ & = 184~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Jawaban C [collapse] Soal Nomor 14 Perhatikan gambar prisma trapesium siku-siku berikut. Luas permukaan bangun adalah $\cdots \cdot$ A. $176~\text{cm}^2$ C. $ B. $800~\text{cm}^2$ D. $ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Luas permukaan bangun ruang di atas sama dengan jumlah dari luas seluruh bidang sisinya. Perhatikan segitiga siku-siku $AOE$. Panjang $AE$ dapat dihitung dengan Teorema Pythagoras, yaitu $\begin{aligned} AE & = \sqrt{AO^2 + OE^2} \\ & = \sqrt{6^2 + 8^2} \\ & = \sqrt{36+64} \\ & = \sqrt{100} = 10~\text{cm}. \end{aligned}$ Luas bidang alas $ABCD$ persegi panjang adalah $\begin{aligned} L_{ABCD} & = AB \times BC \\ & = 16 \times 20 = 320~\text{cm}^2. \end{aligned}$ Luas bidang atas $EFGH$ persegi panjang adalah $\begin{aligned} L_{EFGH} & = EF \times FG \\ & = 10 \times 20 = 200~\text{cm}^2. \end{aligned}$ Luas bidang $BCGF$ persegi panjang adalah $\begin{aligned} L_{BCGF} & = BC \times CG \\ & = 20 \times 8 = 160~\text{cm}^2. \end{aligned}$ Luas bidang $ADHE$ persegi panjang adalah $\begin{aligned} L_{ADHE} & = AD \times DH \\ & = 20 \times 10 = 200~\text{cm}^2. \end{aligned}$ Luas bidang $ABFE$ sama dengan luas bidang $DCGH$ trapesium siku-siku, yaitu $$\begin{aligned} L_{ABFE} = L_{DCGH} & = \dfrac{AB + EF}{2} \times BD \\ & = \dfrac{16+10}{\cancel{2}} \times \cancelto{4}{8} \\ & = 26 \times 4 = 104~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas permukaan prisma itu adalah $$\begin{aligned} L_{ & = L_{ABCD} + L_{EFGH} + L_{ABFE} \\ & + L_{DCGH} + L_{BCGF} + L_{ADHE} \\ & = 320+200+104+104+160+200 \\ & = \end{aligned}$$Jawaban C [collapse] Soal Nomor 15 Perhatikan gambar di bawah. Jika $t=12~\text{cm}$ dan $r=5~\text{cm}$, maka luas permukaan bangun ruang gabungan di samping adalah $\cdots \cdot$ A. $250\pi~\text{cm}^2$ C. $300\pi~\text{cm}^2$ B. $275\pi~\text{cm}^2$ D. $350\pi~\text{cm}^2$ Pembahasan Bangun ruang pada gambar merupakan gabungan dari 2 buah kerucut yang kongruen dan sebuah tabung. Luas permukaannya merupakan jumlah dari 2 kali luas selimut kerucut dan luas selimut tabung. Pertama-tama, akan dicari dulu panjang garis pelukis kerucut dengan menggunakan Teorema Pythagoras, yaitu $\begin{aligned} s & = \sqrt{r^2 + t^2} \\ & = \sqrt{5^2 + 12^2} \\ & = \sqrt{25+144} \\ & = \sqrt{169} = 13~\text{cm}. \end{aligned}$ Dengan demikian, 2 kali dari luas selimut kerucut adalah $\begin{aligned} 2 \times L_{\text{selimut ke}\text{rucut}} & = 2 \times \pi rs \\ & = 2 \times \pi \times 5 \times 13 \\ & = 130\pi~\text{cm}^2. \end{aligned}$ Luas selimut tabung adalah $\begin{aligned} L_{\text{selimut ta}\text{bung}} & = 2\pi rt \\ & = 2 \times \pi \times 5 \times 12 \\ & = 120\pi~\text{cm}^2. \end{aligned}$ Jadi, luas permukaan bangun ruang gabungan tersebut adalah $$\boxed{\begin{aligned} L_{\text{total}} & = L_{\text{selimut ke}\text{rucut}}+L_{\text{selimut ta}\text{bung}} \\ & = 130\pi + 120\pi =250\pi~\text{cm}^2 \end{aligned}}$$Jawaban A [collapse] Soal Nomor 16 Tobi membuat topi ulang tahun dari karton berbentuk kerucut dengan diameter alas $21~\text{cm}$ dan panjang garis pelukisnya $20~\text{cm}$ sebanyak $50$ buah. Jika harga karton setiap meter persegi, maka biaya minimal seluruhnya adalah $\cdots \cdot$ A. B. C. D. Pembahasan Untuk membuat topi ulang tahun berbentuk kerucut, dibutuhkan karton untuk mengisi selimutnya saja karena topi ulang tahun tidak memiliki alas. Diketahui $\begin{aligned} d &= 21~\text{cm} \\ r & = \dfrac{d}{2} = \dfrac{21}{2}~\text{cm} \\ s & = 20~\text{cm} \end{aligned}$ Luas selimut topi ulang tahun itu adalah $\begin{aligned} L_s & = \pi r s \\ &= \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \dfrac{\cancelto{3}{21}}{\cancel{2}} \times \cancelto{10}{20} \\ & = 22 \times 3 \times 10 = 660~\text{cm}^2. \end{aligned}$ Karena dibuat sebanyak $50$ buah, maka luas total karton yang dibutuhkan adalah $\begin{aligned} L & = 50 \times 660~\text{cm}^2 \\ & = = 3,3~\text{m}^2. \end{aligned}$ Dengan demikian, biaya minimal seluruhnya bila satu meter persegi karton dijual adalah $$\boxed{3,3 \times \text{Rp} = \text{Rp} A [collapse] Soal Nomor 17 Sebuah kubah menara berbentuk setengah bola dengan jari-jari $7~\text{m}$. Bagian luar kubah tersebut akan dicat, dan setiap $11~\text{m}^2$ memerlukan 1 kaleng cat. Berapa kaleng cat yang diperlukan untuk mengecat kubah tersebut? $\left\pi=\dfrac{22}{7}\right$ A. $7$ kaleng C. $21$ kaleng B. $14$ kaleng D. $28$ kaleng Pembahasan Luas kubah yang dicat sama dengan luas permukaan belahan bola setengah bola bagian luar yang berjari-jari $7~\text{m}$. Untuk itu, $\begin{aligned} L & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \times \cancelto{2}{4} \times \pi \times r^2 \\ & = 2 \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancelto{7}{7^2} \\ & = 308~\text{m}^2. \end{aligned}$ Karena setiap $11~\text{m}^2$ membutuhkan 1 kaleng cat, maka banyak kaleng cat yang dibutuhkan untuk luas $308~\text{m}^2$ adalah $n = \dfrac{308}{11} = 28~\text{kaleng}.$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 18 Sebuah tugu berbentuk balok, alasnya berupa persegi dengan ukuran $50~\text{cm} \times 50~\text{cm}$, sedangkan tinggi tugu $3~\text{meter}$. Jika tugu akan dicat dengan satu kaleng cat untuk $1~\text{m}^2$, maka paling sedikit cat yang diperlukan adalah $\cdots \cdot$ A. $5$ kaleng C. $7$ kaleng B. $6$ kaleng D. $8$ kaleng Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Luas permukaan balok dengan $p=l=50~\text{cm} = 0,5~\text{m}$ dan $t=3~\text{m}$ adalah $\begin{aligned} L & = 2pl + pt + lt \\ & = 20,5 \cdot 0,5 + 0,5 \cdot 3 + 0,5 \cdot 3 \\ & = 20,25 + 1,5 + 1,5 \\ & = 23,25 = 6,5~\text{m}^2. \end{aligned}$ Diketahui untuk setiap $1$ meter persegi dibutuhkan $1$ kaleng cat. Dengan demikian, dibutuhkan setidaknya $7$ kaleng cat jika luasnya $6,5$ meter persegi. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 19 Tobi akan membuat nasi tumpeng berbentuk kerucut yang permukaannya selimut akan ditutup penuh dengan hiasan dari makanan. Jika diameter tumpeng $28~\text{cm}$ dan tinggi $48~\text{cm}$ serta $\pi=\dfrac{22}{7}$, luas tumpeng yang akan dihias makanan adalah $\cdots \cdot$ A. $ C. $ B. $ D. $ Pembahasan Luas tumpeng yang dimaksud sama dengan luas selimut kerucut dengan $d = 28~\text{cm}$ dan $t = 48~\text{cm}$. Panjang garis pelukisnya dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu $\begin{aligned} s & = \sqrt{r^2+t^2} \\ & = \sqrt{14^2 + 48^2} \\ & = \sqrt{196 + \\ & = \sqrt{ = 50~\text{cm}. \end{aligned}$ Dengan demikian, $\begin{aligned} L & = \pi r s \\ & = \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancelto{2}{14} \times 50 \\ & = \end{aligned}$ Jadi, luas tumpengnya adalah $\boxed{ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 20 Perhatikan gambar di bawah. Volume tabung di luar setengah bola adalah $\cdots \cdot$ A. $360\pi~\text{cm}^3$ C. $144\pi~\text{cm}^3$ B. $216\pi~\text{cm}^3$ D. $72\pi~\text{cm}^3$ Pembahasan Volume tabung di luar setengah bola sama dengan volume tabung dikurangi volume setengah bola. Jari-jari tabung sama dengan jari-jari bola, yaitu $6~\text{cm}$ sehingga tinggi tabungnya juga $6~\text{cm}$. Dengan demikian, $\begin{aligned} V & = V_{\text{tabun}\text{g}}- V_{\text{belah}\text{an bola}} \\ & = \pi r^2 t- \dfrac{2}{3} \pi r^3 \\ & = \pi6^26- \dfrac23 \pi 6^3 \\ & = \dfrac13 \pi 6^3 = 72\pi~\text{cm}^3. \end{aligned}$ Jadi, volume tabung di luar bola adalah $\boxed{72\pi~\text{cm}^3}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 21 Perhatikan gambar berikut. Suatu limas alasnya berbentuk persegi dengan keliling alas $72~\text{cm}$. Jika panjang $TP = 15~\text{cm}$, volume limas adalah $\cdots \cdot$ A. $ C. $ B. $ D. $ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. $O$ merupakan titik tengah bidang alas $ABCD$. Karena $ABCD$ merupakan persegi dengan keliling $72~\text{cm}$, maka panjang sisinya adalah $s = \dfrac{72}{4} = 18~\text{cm}.$ Perhatikan segitiga siku-siku $TOP$ yang memiliki alas $OP = \dfrac12 s = \dfrac{18}{2} = 9~\text{cm}$ dan panjang sisi miringnya $TP = 15~\text{cm}.$ Dengan Teorema Pythagoras, tinggi limasnya tinggi segitiga $TOP$ adalah $\begin{aligned} t = TO & = \sqrt{TP^2- OP^2} \\ & = \sqrt{15^2- 9^2} \\ & = \sqrt{225-81} \\ & = \sqrt{144} = 12~\text{cm}. \end{aligned}$ Jadi, volume limas tersebut adalah $\begin{aligned} V & = \dfrac13 \times L_{\text{alas}} \times t \\ & = \dfrac{1}{\cancel{3}} \times 18 \times 18 \times \cancelto{4}{12} \\ & = \end{aligned}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 22 Selisih volume balok yang berukuran panjang $10~\text{cm}$, lebar $6~\text{cm}$, dan tinggi $4~\text{cm}$ dengan volume kubus yang panjang rusuknya $8~\text{cm}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $272~\text{cm}^3$ C. $168~\text{cm}^3$ B. $244~\text{cm}^3$ D. $134~\text{cm}^3$ Pembahasan Volume balok dengan ukuran $10~\text{cm} \times 6~\text{cm} \times 4~\text{cm}$ adalah $V_{\text{bal}\text{ok}} = plt = 1064 = 240~\text{cm}^3.$ Volume kubus dengan panjang rusuknya $8~\text{cm}$ adalah $V_{\text{kub}\text{us}} = s^3 = 8^3 = 512~\text{cm}^3.$ Dengan demikian, selisih volume keduanya adalah $\begin{aligned} V_{\text{selisih}} & = V_{\text{kub}\text{us}}- V_{\text{bal}\text{ok}} \\ & = 512- 240 = 272~\text{cm}^3. \end{aligned}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 23 Sebuah prisma mempunyai alas berbentuk trapesium dengan panjang sisi sejajar $13~\text{cm}$ dan $7~\text{cm}$ serta jarak kedua sisi sejajarnya $6~\text{cm}$. Jika tinggi prisma $9~\text{cm}$, maka volume prisma adalah $\cdots \cdot$ A. $540~\text{cm}^3$ C. $240~\text{cm}^3$ B. $360~\text{cm}^3$ D. $180~\text{cm}^3$ Pembahasan Volume prisma didapat dengan mengalikan luas alas dan tingginya. Karena alas prisma berupa trapesium, maka luasnya adalah $\begin{aligned} L_{\text{alas}} & = \dfrac{13+7}{\cancel{2}} \times \cancelto{3}{6} \\ & = 20 \times 3 = 60~\text{cm}^2. \end{aligned}$ Dengan demikian, volume prisma itu adalah $\begin{aligned} V & = L_{\text{alas}} \times t \\ & = 60 \times 9 = 540~\text{cm}^3. \end{aligned}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 24 Perhatikan gambar di bawah. Volume bangun pada gambar itu adalah $\cdots \cdot$ $\left\pi=\dfrac{22}{7}\right$ A. $ C. $ B. $ D. $ Pembahasan Bangun ruang pada gambar terdiri dari tabung dan belahan bola sehingga volumenya merupakan jumlah dari volume tabung dan belahan bola. Jari-jari bola diketahui sama dengan jari-jari tabung, yaitu $r = \dfrac12 \times 14 = 7~\text{cm}$ sehingga tinggi tabung $t = 12- 7 = 5~\text{cm}.$ Dengan demikian, volume tabung itu adalah $\begin{aligned} V_{\text{tabu}\text{ng}} & = \pi r^2 t \\ & = \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7 \times 5 \\ & = 22 \times 7 \times 5 = 770~\text{cm}^3. \end{aligned}$ Selanjutnya, volume belahan bola yang berjari-jari $r = 7~\text{cm}$ adalah $\begin{aligned} V_{\text{belah}\text{an bola}} & = \dfrac{2}{3} \pi r^3 \\ & = \dfrac23 \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7 \times 7 \\ & = \dfrac23 \times 22 \times 7 \times 7 \\ & \approx 718,67~\text{cm}^3. \end{aligned}$ Jadi, volume bangun ruang gabungan itu adalah $$\boxed{\begin{aligned} V_{\text{total}} & = V_{\text{tabu}\text{ng}} + V_{\text{belah}\text{an bola}} \\ & = 770 + 718,67 = \end{aligned}}$$Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Bangun Ruang Pra-Olimpiade Soal Nomor 25 Sebuah prisma tegak alasnya berbentuk belah ketupat dengan panjang diagonal $12~\text{cm}$ dan $16~\text{cm}$. Jika luas seluruh permukaan prisma $392~\text{cm}^2$, volume prisma adalah $\cdots \cdot$ A. $392~\text{cm}^3$ C. $584~\text{cm}^3$ B. $480~\text{cm}^3$ D. $960~\text{cm}^3$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar prisma belah ketupat $ berikut. Luas bidang $ABCD$ sama dengan luas bidang $EFGH$ belah ketupat, yaitu $\begin{aligned} L_{ABCD} & = L_{EFGH} \\ & = \dfrac{16 \times \cancel{6}{12}}{\cancel{2}} = 96~\text{cm}^2. \end{aligned}$ Luas sisi tegaknya adalah $L_{\text{sisi tegak}} = 392- 2 \times 96 = 200~\text{cm}^2.$ Karena sisi tegak prisma terdiri dari 4 persegi panjang yang kongruen, maka luas masing-masing persegi panjang itu adalah $L_{\text{pp}} = \dfrac{200}{4} = 50~\text{cm}^2.$ Panjang sisi belah ketupat dapat dihitung dengan rumus Pythagoras, yaitu $\begin{aligned} AB & = \sqrt{8^2 + 6^2} \\ & = \sqrt{64+36} \\ & = \sqrt{100} = 10~\text{cm}. \end{aligned}$ Dengan demikian, tinggi prisma bila ditinjau dari persegi panjang $DCGH$ dapat ditentukan sebagai berikut. $\begin{aligned} L_{DCGH} & = p \times t \\ 50 & = 10 \times t \\ t & = 5~\text{cm}. \end{aligned}$ Jadi, volume prisma belah ketupat itu adalah $\begin{aligned} V & = \text{Luas Alas} \times t \\ & = 96 \times 5 = 480~\text{cm}^2. \end{aligned}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 26 Gambar berikut adalah benda yang terbentuk dari tabung dan belahan bola. Panjang jari-jari alas $7~\text{cm}$ dan tinggi tabung $10~\text{cm}$. Volume benda tersebut adalah $\cdots \cdot$ $\left\pi=\dfrac{22}{7}\right$ A. $ C. $ B. $ D. $ Pembahasan Volume benda tersebut sama dengan jumlah dari volume tabung dan volume belahan setengah bola. Volume tabung yang berjari-jari $r = 7~\text{cm}$ dan tinggj $t = 10~\text{cm}$ adalah $\begin{aligned} V_{\text{tabu}\text{ng}} & = \pi r^2 t \\ & = \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7 \times 10 \\ & = 22 \times 7 \times 10 = \end{aligned}$ Volume belahan bola yang berjari-jari $r = 7~\text{cm}$ sama seperti jari-jari tabung adalah $\begin{aligned} V_{\text{belah}\text{an bola}} & = \dfrac{2}{3} \pi r^3 \\ & = \dfrac23 \times \dfrac{22}{\cancel{7}} \times \cancel{7} \times 7 \times 7 \\ & = \dfrac23 \times 22 \times 7 \times 7 \\ & \approx 718,67~\text{cm}^3 \end{aligned}$ Jadi, volume benda tersebut adalah $$\boxed{\begin{aligned} V_{\text{total}} & = V_{\text{tabu}\text{ng}} + V_{\text{belah}\text{an bola}} \\ & = + 718,67 = \end{aligned}}$$Jawaban A [collapse] Soal Nomor 27 Tabung dengan panjang jari-jari alas $10~\text{cm}$ berisi minyak setinggi $14~\text{cm}$. Ke dalam tabung itu dimasukkan minyak lagi sebanyak $1,884~\text{liter}$. Tinggi minyak dalam tabung sekarang adalah $\cdots \cdot$ $\pi=3,14$ A. $16~\text{cm}$ C. $19~\text{cm}$ B. $18~\text{cm}$ D. $20~\text{cm}$ Pembahasan Ketika minyak dimasukkan ke dalam tabung, maka volume minyak, yaitu $1,884~\text{liter} = dapat ditentukan dengan menggunakan rumus volume tabung dengan jari-jarinya $10~\text{cm}$, tetapi tinggi minyaknya tidak diketahui. $\begin{aligned} V_{\text{minyak}} & = \pi r^2 t \\ & = 3,14 \times 10^2 \times t \\ & = 314 \times t \\ t & = 6~\text{cm}. \end{aligned}$ Dengan demikian, penambahan minyak di dalam tabung akan menaikkan kapasitas minyak sehingga tingginya menjadi $\boxed{14 + 6 = 20~\text{cm}}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 28 Perhatikan gambar di bawah. Sebuah tumpeng berbentuk kerucut dengan diameter alas $32~\text{cm}$ dan tinggi $24~\text{cm}$. Tumpeng tersebut dipotong secara mendatar setinggi $6~\text{cm}$. Volume tumpeng yang diarsir adalah $\cdots \cdot$ A. $32\pi~\text{cm}^3$ C. $ B. $96\pi~\text{cm}^3$ D. $ Pembahasan Bangun ruang yang diarsir merupakan kerucut terpancung dengan jari-jari alas $r = \dfrac{1}{2} \times d = \dfrac{1}{2} \times 32 = 16~\text{cm}$, jari-jari atas $R = r \times \dfrac{6}{24} = 16 \times \dfrac14 = 4~\text{cm}$, dan tinggi $t = 24- 6 = 18~\text{cm}.$ Dengan demikian, volumenya adalah $$\begin{aligned} V & = \dfrac13 \pi tr^2 + rR + R^2 \\ & = \dfrac{1}{\cancel{3}} \times \pi \times \cancelto{6}{18} \times 16^2 + 164 + 4^2 \\ & = 6\pi \times 256 + 64 + 16 = \end{aligned}$$Catatan 1 Jari-jari atas $R$ dapat dihitung dengan menggunakan konsep kesebangunan, yaitu $\dfrac{r}{R} = \dfrac{\text{tinggi}~\text{keru}\text{cut mula-mula}}{\text{tinggi}~\text{keru}\text{cut terpancung}}.$ Catatan 2 Selain menggunakan rumus khusus volume kerucut terpancung, kita juga dapat menghitung volumenya dengan mengurangi volume kerucut besar terhadap volume kerucut kecil. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 29 Bu Audrey memiliki $1$ kaleng penuh berisi beras. Kaleng berbentuk tabung dengan diameter $28~\text{cm}$ dan tinggi $60~\text{cm}$. Setiap hari Bu Audrey memasak nasi dengan mengambil $2$ cangkir beras. Jika cangkir berbentuk tabung dengan diameter $14~\text{cm}$ dan tinggi $8~\text{cm}$, maka persediaan beras akan habis dalam waktu $\cdots \cdot$ A. $15$ hari C. $30$ hari B. $20$ hari D. $40$ hari Pembahasan Jumlah hari sampai persediaan beras habis dapat ditentukan dengan membagi volume satu kaleng berisi beras terhadap volume $2$ cangkir beras yang keduanya berbentuk tabung. Diketahui $\begin{aligned} d_k & = 28~\text{cm} \\ r_k & = \dfrac{1}{2}d_k = 14~\text{cm} \\ t_k & = 60~\text{cm} \\ d_c & = 14~\text{cm} \\ r_c & = \dfrac{1}{2}d_k = 7~\text{cm} \\ t_c & = 8~\text{cm} \end{aligned}$ sehingga $\begin{aligned} n & = \dfrac{V_{\text{kaleng}}}{2 \times V_{\text{cangkir}}} \\ & = \dfrac{\cancel{\pi} r_k^2 t_k}{2 \times \cancel{\pi} r_c^2 t_c} \\ & = \dfrac{\cancel{14} \times \cancelto{2}{14} \times 60}{\cancel{2 \times 7} \times \cancel{7} \times 8} \\ & = \dfrac{2 \times 60}{8} = 15. \end{aligned}$ Jadi, persediaan beras akan habis dalam waktu $\boxed{15~\text{hari}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 30 Joaqueen mempunyai sebuah kubus yang salah satu pojoknya terpotong seperti tampak pada gambar di bawah ini. Volume kubus setelah dipotong adalah $\cdots~\text{cm}^3$. A. $513$ C. $693$ B. $621$ D. $705$ Pembahasan Volume kubus berukuran $9 \times 9 \times 9$ adalah $V_K = 9^3 = 729~\text{cm}^3.$ Bangun yang terpotong membentuk sebuah limas segitiga dengan rusuk tinggi yang tegak lurus dengan sisi alas. Volumenya adalah $\begin{aligned} V_L & = \dfrac13 \times \text{Luas Alas} \times \text{Tinggi} \\ & = \dfrac{1}{3} \times \left\dfrac12 \times 6 \times 6\right \times 6 \\ & = 36~\text{cm}^3. \end{aligned}$ Dengan demikian, volume kubus setelah dipotong adalah $\boxed{729-36=693~\text{cm}^3}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 31 Di antara benda-benda berikut, yang volumenya paling besar adalah $\cdots \cdot$ Bola dengan panjang jari-jari $a$ cm Kerucut dengan panjang jari-jari $2a$ cm dan tinggi $a$ cm Tabung dengan panjang jari-jari $a$ cm dan tinggi $2a$ cm Kubus dengan panjang rusuk $\dfrac32a$ cm Balok dengan panjang $3a$ cm, lebar $a$ cm, dan tinggi $2a$ cm Pembahasan Untuk mempermudah perhitungan, anggap saja nilai $a = 1$. Cek opsi A $\begin{aligned} V_{\text{bola}} & = \dfrac43 \pi r^3 \\ & = \dfrac433,141^3 \approx 4,187 \end{aligned}$ Cek opsi B $\begin{aligned} V_{\text{ker}\text{ucut}} & = \dfrac13\pi r^2t \\ & = \dfrac133,142^21 \\ & = \dfrac433,14 \approx 4,187 \end{aligned}$ Cek opsi C $\begin{aligned} V_{\text{tab}\text{ung}} & = \pi r^2t \\ & = 3,141^22 \\ & = 3,142 = \color{reD}{6,28} \end{aligned}$ Cek opsi D $V_{\text{kub}\text{us}} = s^3 = \left\dfrac32\right^3 = \dfrac{27}{8} = 3,375$ Cek opsi E $V_{\text{ba}\text{lok}} = plt = 312 = 6$ Disimpulkan bahwa volume paling besar dimiliki oleh tabung dengan panjang jari-jari $a$ cm dan tinggi $2a$ cm. Jawaban C [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Dengan menggunakan selembar aluminium berbentuk persegi panjang akan dibuat jaring-jaring tabung, seperti gambar berikut. Keterangan Bagian yang diarsir adalah bagian yang dibuang. Diketahui keliling aluminium = $258$ cm dan $\pi = \dfrac{22}{7}$. Lebar aluminium akan menjadi tinggi tabung. Tentukan diameter tabung; Tentukan tinggi tabung; Tentukan luas aluminium yang dibuang. Pembahasan Perhatikan bahwa $l = 22r = 4r$. $p$ akan menjadi keliling alas tabung lingkaran sehingga $p = 2 \pi r$. Jawaban a Keliling persegi panjang berdasarkan gambar tersebut adalah $K = 22r + p + l$. Oleh karena itu, diperoleh $\begin{aligned} 258 & = 22r + p + l \\ 129 & = 2r+p+l \\ 129 & = 2r + 2\pi r+ 4r \\ 129 & = \left2 + 2 \cdot \dfrac{22}{7} + 4\rightr \\ 129 & = \dfrac{86}{7}r \\ r & = 129 \cdot \dfrac{7}{86} = 10,5~\text{cm}. \end{aligned}$ Karena jari-jarinya $10,5$ cm, maka diameter tabung menjadi $2 \times 10,5 = 21~\text{cm}$. Jawaban b Tinggi tabung dinyatakan oleh $l = 4r = 410,5 = 42~\text{cm}.$ Jawaban c Luas aluminium yang dibuang sama dengan luas persegi panjang dikurangi nilai $p \times l$ dan luas kedua lingkaran. Nilai $p$ sendiri adalah $p = 2 \pi r = 2 \cdot \dfrac{22}{7} \times \dfrac{21}{2} = 66~\text{cm}$. $$\begin{aligned} L & = p + 2r \times l-p \times l-2\pi r^2 \\ & = 66 + 210,5 \times 42-66 \times 42-2\left\dfrac{22}{7} \cdot 10,5^2\right \\ & = 87 \times 42-66 \times 42-2346,5 \\ & = 87-66 \times 42-693 \\ & = 882-693 \\ & = 189~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Jadi, luas aluminium yang dibuang adalah $\boxed{189~\text{cm}^2}$ [collapse] Soal Nomor 2 Sebuah drum diletakkan secara horizontal. Setengah bagian drum berisi air. Jika volume air dalam drum adalah $98,56$ liter, tentukan ketinggian air dalam drum tersebut. $\left\pi=\dfrac{22}{7}\right$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \dfrac12V & = 98,56~\ell = \\ t & = 80~\text{cm} \end{aligned}$ Dalam soal ini, kita akan mencari panjang jari-jari tabung yang akan menjadi tinggi air ketika dalam posisi horizontal seperti itu. $\begin{aligned} \dfrac12V & = \dfrac12πr^2t \\ & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \cdot \dfrac{\cancelto{11}{22}}{7} \cdot r^2 \cdot 80 \\ r^2 & = \dfrac{ \cdot 2 \cdot 7}{22 \cdot 80} \\ r^2 & = 784 \\ r & = \sqrt{784} = 28~\text{cm}. \end{aligned}$ Jadi, ketinggian air dalam drum tersebut adalah $\boxed{28~\text{cm}}$ [collapse]